チーム・マネジメント

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奥深くには神の手が宿っているのか?【ランダム】

 乱数(Random Numbers)というと誤った数と受け取れますが、数学では「0から9までの数字がそれぞれ同じ確率で現われるように並べられた数」と定義されます。乱数を眺めていると完全に無秩序のように見えますが、それぞれの数の出現回数を比較すると同じとなります。

 確率論でも例として取り上げられますが、サイコロを転がして出る数は乱数と同様にランダムです。次に何が出るかわかりませんが、百回、千回、一万回とサイコロを振る回数を増やしていくと、各目の出現回数は均等となります。サイコロの重心をずらして特定の目が出やすいようになっていれば、イカサマなサイコロです。

 この正しいランダム性というのは社会においても重要な意味を占めます。例えば、世論調査の方法として電話によるRDD(Random Digit Dialing)方式が採用され、乱数から電話番号を決定して電話をかけ、応答した相手に質問を行う方式です。均一に質問して代表的な意見を集計すれば、国民全員に対して質問をしなくても精度の高い回答を得ることができます。

 ただし、対象者は均一すなわち完全に無秩序である必要があります。ひと昔前ならば、各家庭に固定電話が普及していました。現在では、若い人ほど固定電話を持たないし、仕事を持っていれば平日の昼間に電話に出ることは難しいかもしれません。そのため、世論調査の結果が年齢が高い人々の意見に偏ってしまいます。世界的に事前の世論調査が選挙結果と外れてきているのは、そんなランダム性が崩れていることに原因があるのかもしれません。

 

 乱数を用いてシミュレーションや数値計算を行なう手法の総称をモンテカルロ法 (Monte Carlo Method)と呼んでいます。モンテカルロは、モナコ公国の北東部の地区名で、地中海に面する観光・保養地であり、国営カジノで有名です。F1(Formula 1)レースのコースとしても知られています。モンテカルロ法がギャンブルに対する確率の測定にも利用できることから名付けられました。

 モンテカルロ法で円周率を求める例題が判りやすいかもしれません。一辺 1メートルの正方形に半径 0.5メートルの円を描きます。正方形上の乱数によって指定された点が円の中に入るか入らないかを記録していきます。評価する点を増やしていくと約0.785の割合で円に入ってきます。したがって、円の面積は0.785平方メートルと見積もられ、円周率×半径の二乗ですから0.785÷0.5÷0.5で3.14と円周率を概算できます。

 シミュレーション(以前の記事)の例として、ボールを投げて遠くに飛ばすことを考えます。最も遠くに飛ばすことを目的関数とすれば最適化問題以前の記事)となります。投げ出す速度を一定とすれば、投げ出す角度によって飛距離が変わってきます。重力しか働かないとして微分方程式を解けば45度が最も飛ぶことになりますが、実際には空気の抵抗もあります。更にボールに回転を加えたらどうなるでしょうか? 速度・角度・回転を乱数によって変化させて記録を取って評価すれば、最も遠くに飛ばす方法を知ることができます。実際の問題は更に複雑であり、良いと思っていたことが最良でないことも多いです。

 

 ランダム性を用いて真実を知る方法もあります。デリケートな質問Sに対する回答を統計的に得るため、回答者にコイン投げをしてもらい、表が出れば質問Sに正しく答えてもらい、裏が出れば実害の無い質問T(例: 電話番号の末尾の数字は偶数)に正しく答えてもらうように依頼します。回答者がどちらの質問に答えたかはわからないようにします。質問Sが正である割合 π、質問Tが正である割合 λ(既知)、回答が正である割合 pとすれば、π+λ=2pが成立するため、π=2p-λによってデリケートな質問Sに対する割合が推定されます。

 事象を1つずつ追うだけでなく、複数の結果を統計的に観察することによって、1つの事象では分からなかった真実が見えてきます。アインシュタイン(Albert Einstein)は、統計的法則が決定論的法則にとって代わるということを当初受け入れず、「神はサイコロを振らない」との名言を残しています。ドイツの物理学者ハイゼンベルク(Werner Karl Heisenberg)が提唱した不確定性原理(Uncertainty Principle)は、量子力学の基礎的原理として、位置と運動量、時間とエネルギーのような関係のある一組の物理量を同時に正確に決めることは不可能であり、それらは確率的に与えられることを示しています。

 現代では、原子や分子の振る舞いのみを対象とせず、人の行動も個々で評価するだけでなく、集団の振る舞いとして統計的に評価して、無秩序とも見える中からある規則を読み取ろうとしています。ポルツマン(Ludwig Boltzmann)が導き出した熱力学の第二法則は、高温から低温への熱の移動は不可逆で、その逆の変化をおこすためには外からエネルギーを与えなければならないを示しています。熱現象は不可逆性であり、エントロピー(Entropy)の増大の原理とも呼ばれています。エントロピーは無秩序の程度を示しており、整理整頓された部屋も時間と共に散らかってくることにも適用できる原理です。

 

 ガウス(Carl Friedrich Gauss) は、応用数学において大きな業績を残しており(高等数学の教科書にも多く登場してきます)、測定誤差についての確率法則も研究していました。多くのデータを収集して分析すると正規分布(Normal Distribution)に従います(中心極限定理)。正規分布は、ガウス分布とも呼ばれており、グラフに描くと平均のところが最も高い左右相称の釣鐘型を呈する分布です。正規分布は平均値とバラつきを示す標準偏差(Standard Deviation)で表すことができます。標準偏差にはギリシャ文字のσ (sigma, シグマ)が用いられます。

 実際には入手できるデータには限りがあり、ランダムに全範囲に渡ってサンプルデータが収集できていれば、その統計的結果の信頼度が上がります。その信頼度を確かめる解析手法に「カイ二乗検定(chi-square test)」があり、データから求められた分散(Variance: 標準偏差の二乗)が真の分散からどの程度異なるかを示すことができます。通常変数には「x」が用いられますが、「x」の代わりにギリシャ文字の「χ (chi, カイ)」を用いたため、「カイ二乗検定」という名前がつけられました。すなわち、サンプルデータの分布が正規分布に従っているかを評価しています。

 正規分布の確率事象ならば、平均値±標準偏差の範囲に68.2%、平均値±2倍の標準偏差(2σ)の範囲に95.4%の事象が出現します。20回に1度程度を外すくらいの精度ならば2σで評価すれば良いです。品質管理で用いられる6σ(Six Sigma)ならば、100万個生産した場合の不良品が3個ないし4個というレベルになります。

 

 ランダムと思えていた中から真理が読み取れたり、無秩序とも思えるカオスの状態で秩序が生まれたり、奥に潜む事象は読み解いてみないとわからないことがあります。

 

Tokyo & Japan from the ISS


参考文献

  1. 人工知能はどのようにして 「名人」を超えたのか?―――最強の将棋AIポナンザの開発者が教える機械学習・深層学習・強化学習の本質
  2. 統計学とは何か ―偶然を生かす (ちくま学芸文庫)
  3. 統計学が最強の学問である
  4. 確率思考の戦略論 USJでも実証された数学マーケティングの力